【图】没有边界又不能装水的神奇瓶子克莱因瓶

大家都知道莫比乌斯带一种神奇的构造，两边都能打通相交但又不重合，但是克莱因瓶就更神奇了，它没有边界，没有内外之分，也不能用来盛装液体。克莱因瓶的构造原理其实可以用扭结来做比喻，也就是跟扭结很类似，可以想象的吧。

1、克莱因瓶是什么

如果莫比乌斯带能够完美的展现一个二维空间中一维可无限扩展之空间模型的话，那么三维空间中二维可无限扩展之空间模型由什么数学模型来展现呢?嘿嘿，猜到了吗?答案是克莱因瓶。在数学领域中，克莱因瓶是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有内部和外部之分。在拓扑学中，克莱因瓶（Klein Bottle）是一个不可定向的拓扑空间。

克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯克莱因提出。在1882年，著名数学家菲立克斯 克莱因发现了后来以他的名字命名的著名瓶子。它和球面不同 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（即它没有内外之分）。或者可以说，这个瓶子不能装水。

为什么呢?克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有边，它的表面不会终结。小伙伴们，你们知道了吗?

2、克莱因瓶和莫比乌斯环

至于克莱因瓶和莫比乌斯环有什么联系，我们可以这样去想：正如莫比乌斯环只有一面一样，克莱因瓶也只有一面；而更加厉害的是，克莱因瓶是密闭的曲面（它围出了一个体积），而莫比乌斯环不是。同时它们还有另一个联系：如果你将两个莫比乌斯环接在一起，你便能得到一个克莱因瓶。

克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。

用扭结来打比方。如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。

3、自身相交

只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。